1. Números reales
2. Sucesiones
3. Álgebra
4. Resolución de triángulos
5. Fórmulas y funciones trigonométricas
6. Números complejos
7. Vectores
8. Geometría analítica
9. Lugares geométricos. Cónicas
10. Funciones elementales
11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
12. Derivadas

12.1.1. Idea gráfica de una derivada

La derivada de una función en un punto implica el análisis de dos problemas aparentemente distintos. En primer lugar, se estudia el ritmo de cambio de la función en ese punto. En segundo lugar, tiene una interpretación geométrica, ya que la derivada en ese punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese mismo punto.

Para calcular la derivada, se determina el valor de la pendiente de una recta secante que pasa por dos puntos cercanos en la gráfica: (x, f(x)) y (a, f(a)). El cálculo se realiza mediante la división del cambio en la variable y (representado por f(x) – f(a)) entre el cambio en la variable x (representado por x – a):

Incremento de la variable y = f(x) – f(a) Incremento de la variable x = x – a Pendiente de la recta secante que pasa por (x, f(x)) y por (a, f(a)) = m = Δy / Δx

Es importante destacar que este cociente de incrementos representa la pendiente de la recta secante alrededor del punto a, no de la recta tangente en el punto a. Para obtener la pendiente de la recta tangente en el punto a, es necesario acercar el valor de x al valor de a, lo cual se logra mediante el cálculo del límite. Con este procedimiento, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente:

lim (x → a) [f(x) – f(a)] / (x – a) = m

Para simplificar el cálculo, se puede realizar un cambio de variable, como x = a + h. De esta manera, cuando x tiende a a, h tiende a 0, lo que nos permite expresar la definición de derivada como:

lim (h → 0) [f(a + h) – f(a)] / h

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